函数y=sin2x+2cosx的最大值和最小值

函数y=sin2x+2cosx的最大值和最小值

因为(2,1)=1，所以原函数的最小正周期T=2pai，因此，我们只需求出原函数的一个周期内的最大与最小值即可，下面我们来探讨区间[0,2pai]的最大与最小值。y'=2cos2x-2sinx=2(1-2sin˜x)-2sinx=-4sin˜x-2sinx+2=-(2sinx+1/2)˜+9/4，x属于[0,2pai]令y'=0，则sinx=-1或sinx=1/2那么x=pai/6，x=5pai/6或x=3pai/2当x属于[0,pai/6)时，y'›0，即原函数在[0,pai/6)上单调递增当x属于(pai/6,5pai/6)时，y'‹0，即原函数在[0,pai/6)上单调递减当x属于(5pai/6,3pai/2)时，y'›0，即原函数在[0,pai/6)上单调递增当x属于(3pai/2,2pai]时，y'›0，即原函数在[0,pai/6)上单调递增所以原函数在x=pai/6上取得极大值，x=5pai/6上取得极小值因为原函数在R上连续，所以它的极大值点也是最大值点，极小值点也是最小值点而当x=pai/6时，y=sin(pai/3)+2cos(pai/6)=(3/2)根号3，当x=5pai/6时，y=sin(5pai/3)+2cos(5pai/6)=-(3/2)根号3注意：因为本人用手机上网回答的，有许多符号没法输入，就用了其它符号代替了，比如˜代表为平方的意思，pai即是圆周率。呵呵，思路绝对没错的，不知道计算有没有问，因为没在草稿纸上打稿就直接打上来了，如有错误，敬请谅解！最后祝LZ学业有成！ 呵呵，感冒了～既然你不喜欢求导法，那我介绍另一种解法给你吧，这种方法比较巧妙～y=sin2x+2cosx=2sinxcosx+2cosx=2cosx(sinx+1)等式两边同时平方：y²=4cos²x(sinx+1)²=4(1-sin²x)(1+sinx)²=4(1-sinx)(1+sinx)³=(4/3)(3-3sinx)(1+sinx)(1+sinx)(1+sinx)由于算术平均数大于或等于几何平均数（如果不懂，自己百度一下，手机很难输入）所以y²‹=(4/3){[(3-3sinx)+(1+sinx)+(1+sinx)+(1+sinx)]/4}"=(4/3)(6/4)"=27/4当且仅当3-3sinx=1+sinx，即sinx=1/2时，不等式取等号所以-(3/2)根号3‹=y‹=(3/2)根号3所以最大值为：(3/2)根号3，最小值为：-(3/2)根号3注：由于没找到4次方的上标，所以用"表示4次方了如果LZ觉得回答得好，希望能给个好评鼓励鼓励，多谢！